线段之差最值 · 将军饮马模型6

机动点 P 在岸线 l 上跑，路程差 PA−PB 何时最大？
拖一拖 P：跑得越远差越大吗？答案会颠覆直觉——最大差值恰好是两定点间的距离！

交互几何画板

题型：

实时数据

拖动橙色 P 点（沿岸线滑动），观察路程差 PA−PB 如何变化——注意它可以为负！

PA 段

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PB 段

-单位

路程差 PA−PB

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理论最大（定值）

-单位

理论最大 · 恰好等于两定点距离 AB

-单位

当前差值与最大值差距

原理（三角形不等式 |PA−PB| ≤ 第三边）：
同侧（经典版）：直接连接 AB 并延长，交岸线于 P*。此时 B 落在 P* 与 A 之间，PA = PB + AB → 最大差值 = AB。求「差」不需要对称！
异侧（进阶版）：PB 被河隔着，先作 B 关于岸线的对称点 B′（PB = PB′），化为同侧再延长 A B′ 交岸线 → 最大差值 = AB′。
⚠ 对比求「和」：同侧求和最小→对称；求差最大→同侧延长、异侧先对称再延长。P 跑得再远，差也只能无限接近这个定值。

线段之差最值 · PA−PB 何时最大？