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初中数学教材例题 · 动态演示

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人教版 · 2024新版 七年级上册（3 题） 七年级下册（5 题） 八年级上册（14 题） 八年级下册（13 题） 九年级上册（21 题） 📕 中考真题精讲（备课专题）
七年级上册 例题 1 · 练习 2 · 逐题对应课本，拖动滑块自己看出结论 🎬 整组放映

三角尺的面积：三角形 − 圆孔

七年级上册人教版·2024新版第三章 代数式第 81 页4
原题　原题（第 81 页 例题）：一个三角尺的形状和尺寸如图 3.2-2 所示，用代数式表示这个三角尺的面积 S．当 a＝10 cm，b＝17.3 cm，r＝2 cm 时，求这个三角尺的面积（π 取 3.14）．
▶ 圆孔越大三角尺越轻——S = ab/2 − πr²，拖到 r = 2 读出 73.94
代数式公式组合图形面积
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行程公式：s = 3.5 + vt

七年级上册人教版·2024新版第三章 代数式第 80 页练习 · 3
原题　原题（第 80 页 练习第 3 题）：一辆汽车从甲地出发，行驶 3.5 km 后，又以 v km/h 的速度行驶了 t h，求这辆汽车行驶的全部路程．如果 v＝56，t＝0.5，求汽车行驶的全部路程．
▶ 拖动滑块就是给汽车计时——vt 与 s 一起长，最终 s = 31.5 km
代数式公式行程问题
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三角形点阵：每边 n 个点，共 3n − 3 个

七年级上册人教版·2024新版第四章 整式的加减第 103 页练习 · 10
原题　原题（第 103 页 练习第 10 题）：如图，一些点组成形如三角形的图形．如果图形的每条「边」上有 n（n＞1）个点（包括两个顶点），那么这个图形中点的总数 S 是多少？当 n＝5，7，11 时，S 各是多少？
▶ 每边 n 个点、顶点被数了两次——总数 S = 3n − 3，n = 11 时恰好 30 个
规律探究整式点阵
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七年级下册 例题 1 · 练习 4 · 逐题对应课本，拖动滑块自己看出结论 🎬 整组放映

剪一刀挪过去：平行四边形的面积 = 底 × 高

七年级下册人教版·2024新版第七章 相交线与平行线第 30 页练习 · 4
原题　原题（第 30 页 练习第 4 题）：用平移方法说明怎样得出平行四边形的面积公式 S = ah．
▶ 左端那块红三角，沿着底边滑到右边，咔哒一声正好补齐成长方形
平行四边形面积平移割补法
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给直角三角形建系：C(0,0)，B(4,0)，A(0,3)

七年级下册人教版·2024新版第九章 平面直角坐标系第 68 页练习 · 2
原题　原题（第 68 页 练习第 2 题）：如图，在直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．建立平面直角坐标系，写出三角形 ABC 三个顶点的坐标．
▶ 把歪着的三角形「摆正」进坐标系——C 落在原点，两条直角边贴住坐标轴
平面直角坐标系建系勾股
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平移 (+5, +3)：三个顶点一起搬家

七年级下册人教版·2024新版第九章 平面直角坐标系第 78 页例3
原题　原题（第 78 页 例3）：如图 9.2-10，将三角形 ABC 平移，得到三角形 A₁B₁C₁，其中任意一点 P(x₀, y₀) 平移后的对应点为 P₁(x₀＋5, y₀＋3)．写出三角形 ABC 的一种沿坐标轴方向的平移方式，以及点 A₁，B₁，C₁ 的坐标．
▶ 拖一下滑块，三角形整块滑到右上角——A₁(3, 6)、B₁(1, 2)、C₁(7, 3) 一次性读出来
平面直角坐标系平移坐标变化
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横 −3、纵 +1：平行四边形整体挪窝

七年级下册人教版·2024新版第九章 平面直角坐标系第 79 页练习 · 2
原题　原题（第 79 页 练习第 2 题）：如图，平行四边形 AOCB 四个顶点的坐标分别是 A（2，2），O（0，0），C（4，0），B（6，2）．将这四个顶点的横坐标都减去 3，同时纵坐标都加 1，分别得到点 A′，O′，C′，B′．请在图中画出四边形 A′O′C′B′，它与平行四边形 AOCB 有什么关系？
▶ 四个顶点同时减 3 加 1——蓝色图形和原来的一模一样，只是挪了位置
平面直角坐标系平移平行四边形
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反推平移：先算位移 (4, −4)

七年级下册人教版·2024新版第九章 平面直角坐标系第 79 页练习 · 3
原题　原题（第 79 页 练习第 3 题）：三角形 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（－3，2），B（1，1），C（－1，－2）．若将三角形 ABC 平移，使点 A 平移到点（1，－2）处，写出三角形 ABC 沿坐标轴方向平移的一种方式，以及点 B 和点 C 的对应点的坐标．
▶ 只知道 A 去了哪——蓝点一路追到目标框，追到时 B′、C′ 的坐标就出来了
平面直角坐标系平移对应点
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八年级上册 例题 9 · 练习 5 · 逐题对应课本，拖动滑块自己看出结论 🎬 整组放映

角平分线算出 ∠ADB = 90° + (∠C − ∠B)/2

八年级上册人教版·2024新版第十三章 三角形第 12 页例1
原题　原题（第 12 页 例1）：如图，在 △ABC 中，∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD 是 △ABC 的角平分线．求 ∠ADB 的度数．
▶ 拖动 ∠B，三角形整个变形——∠ADB 跟着变，但公式始终咬合
三角形内角和角平分线代数式
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共用一个对顶角 ⇒ ∠CAE = ∠DBE

八年级上册人教版·2024新版第十三章 三角形第 14 页例3
原题　原题（第 14 页 例3）：如图，∠C = ∠D = 90°，AD，BC 相交于点 E．比较 ∠CAE 与 ∠DBE 的大小．
▶ 两根直角棒交叉——张角怎么变，两个锐角都相等
直角三角形对顶角余角
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三角形的外角和恒等于 360°

八年级上册人教版·2024新版第十三章 三角形第 15 页例4
原题　原题（第 15 页 例4）：如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是 △ABC 的三个外角，它们的和是多少？
▶ 顶点绕一圈，三个外角读数此消彼长，和永远钉在 360°
外角多边形外角和转化
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角平分线 + 内角和：∠ADB = 160° − ∠B

八年级上册人教版·2024新版第十三章 三角形第 12 页1
原题　原题（第 12 页 例1）：如图 13.3-3，在△ABC 中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD 是△ABC 的角平分线．求 ∠ADB 的度数．
▶ ∠A 固定 40°，拖动 ∠B——∠ADB 始终等于 160° − ∠B，课本里 85° 就在滑块正中间
三角形内角和角平分线
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三角形的外角和 = 360°

八年级上册人教版·2024新版第十三章 三角形第 15 页4
原题　原题（第 15 页 例4）：如图 13.3-9，∠BAE、∠CBF、∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
▶ 把三角形随便捏成什么形状，三个外角加起来死死咬住 360°
三角形外角内角和
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两条高之比 = 两条边的反比

八年级上册人教版·2024新版第十三章 三角形第 10 页练习 · 题7
原题　原题（第 10 页 题7）：如图，在 △ABC 中，若 AB = 2，BC = 4，则 △ABC 的高 AD 与 CE 的比是多少？（提示：利用三角形的面积公式。)
▶ 拖动 ∠B——两条高都在变，比值死死钉在 1:2
三角形的高面积法比例
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尺规作平行线的原理：内错角相等

八年级上册人教版·2024新版第十四章 全等三角形第 40 页例4
原题　如图，已知直线 AB 及直线 AB 外一点 C。利用直尺和圆规，过点 C 作直线 AB 的平行线 CD。
▶ 改变截线倾角——两个角始终相等，于是作出的直线始终与 AB 平行
尺规作图平行线内错角同位角
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等腰三角形底边中线 ⟂ 底边（三线合一）

八年级上册人教版·2024新版第十四章 全等三角形第 37 页例3
原题　原题（第 37 页 例3）：在如图所示的三角形钢架中，AB = AC，AD 是连接点 A 与 BC 中点 D 的支架．求证 AD ⊥ BC．
▶ 拖动底角——屋架越拉越扁，支柱与横梁始终成直角
等腰三角形三线合一SSS 全等
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折纸暗藏换算：△AED 周长 = AB − 1

八年级上册人教版·2024新版第十四章 全等三角形第 60 页练习 · 12
原题　原题（第 60 页 练习第 12 题）：如图的三角形纸片 ABC 中，AB = 8 cm，BC = 6 cm，AC = 5 cm．沿过点 B 的直线折叠这个三角形，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，折痕为 BD．求 △AED 的周长．
▶ 把 AB 拉长拉短，△AED 的周长跟着变——但它永远比 AB 少 1 厘米
折叠轴对称线段转化
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外角平分线一旦平行于底边，两边就相等

八年级上册人教版·2024新版第十五章 轴对称第 80 页例2
原题　原题（第 80 页 例2）：求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：如图 15.3-5，AD 是 △ABC 的外角 ∠CAE 的平分线，AD ∥ BC．求证：AB = AC．
▶ 左右拖动顶点 A——两个角此消彼长，它们相撞归零的那一刻，AB 与 AC 也同时相等
等腰三角形判定平行线角平分线
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已知底边和高，尺规作等腰三角形

八年级上册人教版·2024新版第十五章 轴对称第 81 页例3
原题　原题（第 81 页 例3）：已知等腰三角形的底边长和底边上的高，用直尺和圆规作出这个等腰三角形。
▶ 拖动高 h——顶点沿垂直平分线升降，两腰永远相等
等腰三角形尺规作图三线合一
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关于坐标轴对称的点的坐标规律

八年级上册人教版·2024新版第十五章 轴对称第 73 页练习 · 题1
原题　原题（第 73 页 题1 变式）：在平面直角坐标系中，画出已知点 P 及其关于 x 轴、y 轴的对称点，把坐标填入表格，并总结规律。
▶ 拖动 P 横向巡逻——两条镜像影子死死锁住「横同纵反、横反纵同」
轴对称坐标规律
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平行 + 角平分线 ⇒ AB = AD

八年级上册人教版·2024新版第十五章 轴对称第 84 页练习 · 题2
原题　原题（第 84 页 题2）：如图，AD ∥ BC，BD 平分 ∠ABC。求证 AB = AD。
▶ 拖动半角 u——三个角齐齐相等，AB 与 AD 始终一样长
等腰三角形平行线角平分线
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「8 字」全等：OE 垂直平分 BD

八年级上册人教版·2024新版第十五章 轴对称第 70 页练习 · 题8
原题　原题（第 70 页 题8）：如图，AD 与 BC 相交于点 O，OA = OC，∠A = ∠C，BE = DE。求证：OE 垂直平分 BD。
▶ 拖动 OB——点 D 是被 ∠A=∠C 反解出来的，它到 O 的距离竟恒等于 OB
全等三角形垂直平分线ASA
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八年级下册 例题 6 · 练习 7 · 逐题对应课本，拖动滑块自己看出结论 🎬 整组放映

数轴上的距离函数 y=|x+3|

八年级下册人教版·2024新版第二十二章 函数第 112 页练习 · 题2
原题　原题（第 112 页 题2）：设 P(x, 0) 是 x 轴上的一个动点，它与 x 轴上表示 −3 的点 A 的距离为 y。求 y 关于 x 的函数解析式，并画出这个函数的图象。
▶ 拖动 P 远离 A——V 形曲线右缓左陡，折点正好在 A 上方
一次函数绝对值函数图象
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薄木板能否斜着通过门框

八年级下册人教版·2024新版第二十章 勾股定理第 26 页例2
原题　一个门框的尺寸如图所示（宽 1 m、高 2 m），一块长 3 m、宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
▶ 转动木板——门框里能容下的最长线段随角度变化，峰值正好是对角线 √5
勾股定理最长线段实际应用
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两点间距离：A(a, 0)，B(0, 4)，AB = √(a²+16)

八年级下册人教版·2024新版第二十章 勾股定理第 26 页练习 · 3
原题　原题（第 26 页 练习第 3 题）：如图，在平面直角坐标系中有两点 A（5，0）和 B（0，4）．求这两点间的距离．
▶ a = 5 时 AB = √41 ≈ 6.40——勾股定理就是坐标系里的量距尺
勾股定理两点间距离
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顺次连接任意四边形各边中点，必得平行四边形

八年级下册人教版·2024新版第二十一章 四边形第 64 页例6
原题　求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形。
▶ 随意拖动四边形的一个顶点——中间那个四边形始终是平行四边形，一组对边永远等于 AC 的一半
中点四边形三角形中位线平行四边形
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平行四边形的四条角平分线围成一个矩形

八年级下册人教版·2024新版第二十一章 四边形第 71 页例2
原题　原题（第 71 页 例2）：如图，▱ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E，F，G，H．求证：四边形 EFGH 是矩形．
▶ 随便怎么拽平行四边形，四条平分线围出的框永远是矩形
平行四边形角平分线矩形判定
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对角线的垂直平分线一压下去，就压出菱形 AFCE

八年级下册人教版·2024新版第二十一章 四边形第 74 页例4
原题　原题（第 74 页 例4）：如图，在 ▱ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边 AD，BC 分别相交于点 E，F．求证：四边形 AFCE 是菱形．
▶ 拖动平行四边形，紫色那条线切出来的四边形四条边永远相等
平行四边形垂直平分线菱形判定
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正方形边上取 AE=BF=CG=DH，套出的 EFGH 恒为正方形

八年级下册人教版·2024新版第二十一章 四边形第 77 页例6
原题　原题（第 77 页 例6）：如图，E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，且 AE = BF = CG = DH．求证：四边形 EFGH 是正方形．
▶ 四个点同步滑动，内接四边形一路旋转，永远是正方形
正方形旋转全等三角形
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只有 60° 那一瞬，DEF 才是等边三角形

八年级下册人教版·2024新版第二十一章 四边形第 74 页练习 · 3
原题　原题（第 74 页 练习第 3 题）：如图，在菱形 ABCD 中，∠A = 60°，连接对角线 BD，E，F 分别是边 AB，BC 的中点，分别连接 DE，DF，EF．求证：△DEF 是等边三角形．
▶ 拖拉菱形的张角——DE 和 DF 永远相等，但 EF 只在 60° 时追上来，三边首次合拢
菱形等边三角形中位线
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直角 + 角平分线 ⇒ 正方形 CEDF

八年级下册人教版·2024新版第二十一章 四边形第 78 页练习 · 题2
原题　原题（第 78 页 题2）：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 平分 ∠ACB，DE ⊥ BC，DF ⊥ AC，垂足分别为 E，F。求证：四边形 CEDF 是正方形。
▶ 拖动 ∠A——黄色方块一直是正方，边长 = 两直角边的乘积除以和
正方形判定角平分线矩形
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交叉的两条路：一样长，还互相垂直

八年级下册人教版·2024新版第二十一章 四边形第 77 页练习 · 3
原题　原题（第 77 页 练习第 3 题）：如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是 A，B，C，D．要修建 BE 和 AF 两条路，使点 E，F 分别在边 AD，CD 上，且 DE = CF．这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
▶ 两条路怎么交叉都守住一条铁律：长度永远相等，夹角永远是直角
正方形全等旋转变换
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等腰三角形周长 20：y = 20 − 2x 的定义域

八年级下册人教版·2024新版第二十二章 函数第 112 页练习 · 题5
原题　原题（第 112 页 题5）：已知等腰三角形周长为 20。写出底边长 y 关于腰长 x 的函数解析式，以及函数解析式中自变量的取值范围，并在平面直角坐标系中画出它的图象。
▶ 拖动腰长 x——红色实线能取到的部分只有中间那一截，两端还取不到
一次函数定义域函数图象
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k 与 b 各管什么：一次函数的双滑块直觉

八年级下册人教版·2024新版第二十三章 一次函数第 117 页例1
原题　画出正比例函数 y=2x、y=⅓x 的图象，再画出 y=−3x 与 y=−3x+1，观察 k、b 对图象的影响。
▶ 拖动 k——两条直线一起转动；蓝线永远比红线高一格，这就是 b 的作用
一次函数斜率平移
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两气球何时同高：一次函数的交点

八年级下册人教版·2024新版第二十三章 一次函数第 129 页练习 · 题2
原题　原题（第 129 页 题2 意）：甲气球从离地 5m 处以 1m/s 上升，乙气球从 15m 处以 0.5m/s 上升。两个气球何时位于同一高度？（对应 y=x+5 与 y=0.5x+15）
▶ 两气球一快一慢，高度差一路收窄——差值归零的那一秒就是交点
一次函数二元一次方程组交点
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九年级上册 例题 9 · 练习 12 · 逐题对应课本，拖动滑块自己看出结论 🎬 整组放映

y=ax² 中 a 怎样决定开口

九年级上册人教版·2024新版第二十六章 二次函数第 34 页例1
原题　在同一平面直角坐标系中，画出函数 y=½x² 与 y=2x² 的图象，并观察 a 对开口的影响。
▶ 拖动 a——开口像镜头一样收放；两条抛物线始终共用顶点和对称轴
二次函数抛物线开口大小
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抛物线上下平移：y=½x²+k

九年级上册人教版·2024新版第二十六章 二次函数第 36 页练习 · 题1
原题　原题（第 36 页 题1）：在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y=½x²+2 与 y=½x²−2 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点。
▶ 拖动 k——整条抛物线坐电梯，形状纹丝不动
二次函数图象平移顶点
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抛物线左右平移：y=−3(x−h)²−5

九年级上册人教版·2024新版第二十六章 二次函数第 44 页练习 · 题1
原题　原题（第 44 页 题1）：在平面直角坐标系中，把抛物线 y=−3(x−2)²−5 先向上平移 5 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，求所得抛物线对应的函数解析式。
▶ 拖动 h——顶点沿水平线滑行，左减右加一眼看穿
二次函数图象平移顶点式
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任意球轨迹：顶点就是横梁点

九年级上册人教版·2024新版第二十六章 二次函数第 45 页练习 · 7
原题　原题（第 45 页 练习第 7 题）：如图，一名足球运动员在点 A 处踢出任意球，球的飞行路线是一条抛物线．当球飞行到最高点时，恰好击中 2.44 m 高的球门横梁上的点 B．设位于点 B 正下方的地面上的点为 C，且 AC = 24.4 m．求这一飞行过程中，球的竖直高度 y（单位：m）关于它距离点 A 的水平距离 x（单位：m）的函数解析式．
▶ 球门拉远拉近，弧线自动重画——落地点却永远是进门距离的两倍
二次函数解析式顶点式实际问题
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y=k/x 与 y=kx：图象位置随 k 如何变

九年级上册人教版·2024新版第二十七章 反比例函数第 73 页练习 · 题6
原题　原题（第 73 页 题6）：在同一平面直角坐标系中，函数 y=k/x 与 y=kx（k≠0）的图象大致是（　　）。
▶ 拖动 k 穿过 0——双曲线与直线同时「翻面」，交点永远锁在 (±1, ±k)
反比例函数正比例函数图象与性质
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两个反比例函数的图象有公共点吗

九年级上册人教版·2024新版第二十七章 反比例函数第 86 页练习 · 题9
原题　原题（第 86 页 题9）：两个不同的反比例函数的图象是否有公共点？为什么？
▶ 把 k 拖到 2 的瞬间两条曲线重合——除此之外永远「擦肩而过」
反比例函数公共点反证法
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正方形内 △ADE 绕 A 顺时针旋转 90°

九年级上册人教版·2024新版第二十八章 旋转第 94 页例2
原题　如图，E 是正方形 ABCD 的边 CD 上任意一点，以点 A 为旋转中心，把 △ADE 顺时针旋转 90°，画出旋转后的图形。
▶ 拖动 E 在 CD 上的位置——旋转 90° 后 D 恰好落在 B，E 落在 CB 延长线上的 F
旋转正方形全等等腰直角三角形
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∠B′CA = 100° − 2 × 旋转角

九年级上册人教版·2024新版第二十八章 旋转第 93 页例1
原题　原题（第 93 页 例1）：如图 28.1-5，将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 35°，得到 △A′B′C，若 ∠BCA′ = 100°，求 ∠B′CA 的度数．
▶ 转多少度，两端就各"吃掉"多少度——剩下的那块就是答案
旋转的性质角的和差方程思想
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线段绕中点旋转 180°

九年级上册人教版·2024新版第二十八章 旋转第 101 页练习 · 题2
原题　原题（第 101 页 题2）：如图，将 ▱ABCD 绕它的两条对角线的交点 O 旋转 180°，你有什么发现？
▶ 转到 180° 的瞬间 A′ 与 B 重合——线段「转回自己」
中心对称旋转对称中心
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转够 60°，三个角同时落位

九年级上册人教版·2024新版第二十八章 旋转第 96 页练习 · 5
原题　原题（第 96 页 练习第 5 题）：如图，△ABC 是一个等边三角形，D 为边 BC 的中点，把 △ADC 绕点 A 顺时针旋转 60° 得到 △AEB，求 ∠ABE，∠DAE，∠BED 的度数．
▶ 半个三角形绕顶点转圈——转到 60° 时，∠ABE 正好 60°、∠BED 正好 30°
旋转等边三角形角度计算
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圆柱截面「有水部分」的弓形面积

九年级上册人教版·2024新版第二十九章 圆第 135 页例2
原题　水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积。
▶ 拖动水位 h——弓形面积不是线性增长，越接近半圆涨得越慢
圆弓形扇形垂径定理
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圆周角定理：一半的圆心角

九年级上册人教版·2024新版第二十九章 圆第 128 页圆周角定理
原题　课本定理（第 128 页）：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
▶ 让 P 沿着整圈跑——在优弧上 ∠APB 永远是 60°，一跳到劣弧立刻变成 120°
圆圆周角圆心角
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圆锥侧面展开图：n = 360° / k

九年级上册人教版·2024新版第二十九章 圆第 144 页练习 · 题3
原题　原题（第 144 页 题3）：一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则圆锥侧面展开图的圆心角是（　　）。 （A）120°　（B）180°　（C）240°　（D）300°
▶ 拖动 k——扇形越瘦，圆心角越小，两者相乘恒等于 360°
圆锥扇形侧面积
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等边三角形的外接圆：R = 2√3⁄3

九年级上册人教版·2024新版第二十九章 圆第 118 页练习 · 2
原题　原题（第 118 页 练习第 2 题）：如图，△ABC 是边长为 2 的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接圆的半径长．
▶ 三角形在圆里转，半径纹丝不动——边长 2 的等边三角形，外接圆半径恒为 2√3⁄3 ≈ 1.155
圆外接圆等边三角形垂径/解直角
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正方形四半圆：阴影面积

九年级上册人教版·2024新版第二十九章 圆第 138 页练习 · 题3
原题　原题（第 138 页 题3）：如图，正方形的边长为 a，以各边为直径在正方形内画半圆，求阴影部分的面积。
▶ 边长 a 任意变，阴影永远等于 πa²/2 − a²
圆扇形面积组合图形
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以斜边中点为圆心的圆与三边的位置关系

九年级上册人教版·2024新版第三十章 直线与圆的位置关系第 149 页例1
原题　在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12。以边 AB 的中点 D 为圆心、r 为半径作 ⊙D。
▶ 拖动半径 r——圆心 D 就落在斜边 AB 上，圆与三条边的关系随 r 依次翻转
直线与圆相切相离相交斜边中点
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切线判定：PA 切 ⊙O 且 PA = PB ⇒ PB 也是切线

九年级上册人教版·2024新版第三十章 直线与圆的位置关系第 151 页2
原题　原题（第 151 页 例2）：如图 30.1-9，AB 是 ⊙O 的弦，PA 是 ⊙O 的切线，PA＝PB．求证：PB 是 ⊙O 的切线．
▶ PB 拉到和 PA 一样长的一瞬间，∠OBP 跳成 90.00°——PB 撞成切线
切线的判定全等三角形
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切线长定理：PA = PB 恒成立

九年级上册人教版·2024新版第三十章 直线与圆的位置关系第 153 页例3
原题　原题（第 153 页 例3）：如图，PA，PB 是 ⊙O 的两条切线，A，B 是切点，连接 AB，若 ∠APO = 30°，OP = 2，求 △PAB 的周长．
▶ 把 P 往远处拉，两条切线段始终一样长；拉到 OP = 2 时 △PAB 正好变成等边三角形
切线长定理切线的性质等边三角形
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切线长定理：∠APO = 30° 时，△PAB 周长 = 3√3

九年级上册人教版·2024新版第三十章 直线与圆的位置关系第 153 页3
原题　原题（第 153 页 例3）：如图 30.1-16，PA、PB 是 ⊙O 的两条切线，A、B 是切点，连接 AB．若 ∠APO＝30°，OP＝2，求 △PAB 的周长．
▶ ∠APO 转到 30°，△PAB 自己变成等边三角形——周长恰好 3√3 ≈ 5.196
切线长定理等边三角形解直角
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动点切线截出反比例函数：AD · BC = R²

九年级上册人教版·2024新版第三十章 直线与圆的位置关系第 172 页练习 · 题10
原题　原题（第 172 页 题10）：如图，⊙O 的直径 AB = 12，AM 和 BN 是 ⊙O 的两条切线．在以点 A，B 为端点的 ⊙O 的右半圆弧上，有一个动点 E，过点 E 作 ⊙O 的切线 l 与 AM，BN 分别交于点 D，C．设 AD = x，BC = y，求 y 关于 x 的函数解析式，并画出它的图象．
▶ 把点 E 沿半圆拖一圈，两条截线的长度此消彼长，乘积死死等于 R²
切线反比例函数动点
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切线 + OA = OB：三线合一引出 √41

九年级上册人教版·2024新版第三十章 直线与圆的位置关系第 170 页练习 · 题2
原题　原题（第 170 页 题2）：如图，AB 与 ⊙O 相切于点 C，OA = OB，⊙O 的直径为 8，AB = 10，求 OA 的长。
▶ 拖动切点到端点的距离——OA = OB 始终成立，答案藏在 √(r² + d²) 里
切线勾股定理三线合一
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