动态几何 · 第 1 讲

将军饮马 · 最短路径问题

在直线 l 的同侧有 A、B 两点。动点 P 在 l 上滑动时，AP + PB 会不断变化——
拖一拖下面的 P 点，亲眼看看什么时候路程最短。

交互几何画板

题型：经典版 · 水平河岸进阶版 · 斜向河岸

👆 拖拽动点 P（橙色），或直接拖拽 A / B 重新出题

AP 路程

—单位

PB 路程

—单位

当前总路程 AP+PB

—单位

最短路径（理论值）

—单位

当前与最短值的差距

—单位

原理：作 B 关于直线 l 的对称点 B'，连接 AB'，与 l 的交点即为最优点。
折线问题 → 直线问题（两点之间线段最短）。

AP+PB 随 P 位置变化当前 P 的位置最优点（曲线谷底）

作 B 关于直线 l 的对称点 B'，连接 AB'。AB' 与 l 的交点 P* 即最优点，此时 AP*+P*B = AB'。这就是「化折为直」——把折线距离变成一条直线段。

看下方曲线：P 从一端滑到另一端时，总路程先减小、后增大，形成 V 形。谷底对应的就是最优点。拖动 P 时红点会沿曲线滑动——数学最值，本质就是找谷底。